Hay cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras. En este blog, los días 1 de cada mes, se colgará una nueva demostración. Espero que lo disfruten!
Después de la buena acogida que tuvo la entrada que habló de el origen de la geometría euclídea y por exponer primeramente las demostraciones más antiguas del teorema, adjunto la demostración de los Elementos de Euclides.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
LIBRO I, PROPOSICIÓN 47 DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
En los triángulos rectángulo el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Sea ABΓ el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto BAΓ.
Digo que el cuadrado de BΓ es igual que los cuadrados BA, AΓ.
Trácese pues, a partir de BΓ el cuadrado BΔEΓ, y a partir de BA, AΓ, los cuadrados HB , ΘΓ, y por el (punto) A trácese AΛ paralela a una de los dos (rectas) BΔ, ΓE; y trácense AΔ, ZΓ. Y dado que cada uno de los ángulos BAΓ, BAH es recto, entonces en una recta cualquiera BA y por un punto de ella, A, las dos rectas AΓ, AH, no colocadas en el mismo lado, hacen los ángulos adyacentes iguales a dos rectos; por lo tanto, ΓA está en línea recta con AH.
Por la misma razón, BA también está en línea con AΘ. Y como el ángulo ΔBΓ es igual al (ángulo) ZBA - porque cada uno (de ellos) es recto - añádase a ambos el ángulo ABΓ; entonces el (ángulo) entero ΔBA es igual al (ángulo) entero ZBΓ; y como ΔB es igual a BΓ, y ZB a BA, los dos (lados) ZB, BΓ; y el ángulo ΔBA es igual al ángulo ZBΓ; entonces la base AΔ es igual a la base ZΓ, y el triángulo ABΔ es iagual al triángulo ZBΓ; y el paralelogramo BΛ es el doble del triángulo ABΔ: porque tienen la misma base BΔ y están entre las mismas paralelas BΔ, AΛ; pero el cuadrado HB es el doble del triángulo ZBΓ: porque tienen a su vez la misma base ZB y están entre las mismas paralelas ZB, HΓ; [pero los dobles de cosas iguales son iguales entre sí]; por tanto, el paralelogramo BΛ es también igual al cuadrado HB. De manera semejante, trazando (las rectas) AE, BK se demostraría que también el paralelogramo ΓΛ es igual al cuadrado ΘΓ; por tanto el cuadrado entero BΔEΓ es igual a los cuadrados HB, ΘΓ. Asimismo el cuadrado BΔEΓ ha sido trazado a partir de BΓ, y los (cuadrados) HB, ΘΓ a partir de BA, AΓ. Por tanto, el cuadrado del lado BΓ es igual a los cuadrados de los lados BA, AΓ.
Por consiguiente, en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Q.E.D.
Vaya con Ecuclides. En una futura entrada se traducirá a un lenguaje más actualizado para que se entienda mejor. No obstante, como blog de historia, no está de más ser lo más literal posible a los términos usados por el sabio de Grecia.
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