miércoles, 1 de mayo de 2013

El teorema de Pitágoras - Mayo 2013 - Demostración pitagórica

Hay cientos de demostraciones del teorema de Pitágoras. En este blog, los días 1 de cada mes, se colgará una nueva demostración. Espero que lo disfruten!

a2+b2=c2


Unos crían la fama y otros cardan la lana.


¿Por qué digo esto? Parece que el primero en demostrar la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo fuera Pitágoras y posiblemente no fuera así. Por dos motivos:


  • Los babilonios y los egipcios ya disponían de ternas pitagóricas, esto es, anotaciones de grupos de tres números que satisfacen el teorema (3, 4 y 5; por ejemplo). La matemática previa a los griegos fue mucho menos rigurosa y se conserva muy poco material. Que no se conserve el papiro o la tablilla donde lo demostraron no significa que no lo demostraran.
  • Pitágoras era un filósofo griego, que da nombre a la escuela pitagórica (por no decir secta pitagórica), un grupo de eruditos que pensaban que todo podía relacionarse con números. Pudo demostrarlo un miembro de la escuela y no el mismo Pitágoras.

Hay cientos de demostraciones distintas a lo largo de la historia (hay un libro que recoge 367). En el futuro escribiré entradas con demostraciones diferentes, las que me parecen más creativas. También son historia.

En esta entrada explico la demostración que, en teoría, dio Pitágoras...

Pitágoras conocía que los lados de triángulos semejantes (con los mismos ángulos) son proporcionales. Conocía la geometría de Tales de Mileto (es posible que llegaran a coincidir juntos).

Partiendo de este dibujo y de los conocimientos de triángulos semejantes...


El triángulo ABC es semejante a BCH. Demostración:
  • Los dos son rectángulos.
  • Comparten el ángulo 
  • La suma de los ángulos de un triángulo es 180º 
Por el mismo motivo, ABC es proporcional a CAH.


Sumando las dos expresiones, resulta:


Esta es la primera demostración oficial del teorema. La demostración de los elementos de Euclides resulta más compleja. La veremos en futuras entradas.